Je od svojho založenia na Konzervatóriu v Bratislave roku 1975 (A. Vrteľ) jedným z najvýznamnejších komorných zoskupení na Slovensku. Členovia kvarteta sú absolventmi VŠMU v Bratislave (T. Gašparek). V štúdiách pokračovali na Hochschule für Musik und darstellende Kunst vo Viedni (F. Samohyl, G. Pichler). Už počas štúdií kvarteto získalo viacero laureátskych titulov na domácich, ale i medzinárodných súťažiach (Evian). V roku 1998 získalo cenu brazílskych skladateľov za najlepšie CD brazílskej komornej hudby (G. Bauer, H. Crowl). V rokoch 1986 – 2005 patrilo Moyzesovo kvarteto k umeleckým súborom Slovenskej filharmónie.

Moyzesovo kvarteto slovenskú hudobnú kultúru reprezentovalo s úspechom takmer vo všetkých štátoch Európy, v Japonsku, Indii, Maroku, USA, Kanade, na Faerských ostrovoch a na Kube. V roku 2000 bola Moyzesovmu kvartetu udelená cena Frica Kafendu a zároveň Cena kritiky. V roku 2015 získal súbor prestížnu Cenu Tatra banky za umenie a bol poctený Cenou ministra kultúry SR za umenie. Repertoár telesa zahŕňa všetky štýlové obdobia, nevynímajúc ani tvorbu súčasných slovenských autorov, z ktorých mnohí skladby kvartetu priamo dedikovali.

Sústavne sa venuje nahrávaniu nových kompaktných diskov (súbor nahral vyše 40 CD: A. Albrecht, J. L. Bella, J. Cikker, A. Dvořák, A. T. Grečaninov, E. H. Grieg, L. Kupkovič, W. A. Mozart, A. Moyzes, M. Moyzes, M. Ravel, F. Schmidt, B. Smetana, E. Suchoň, D. Šostakovič, G. Verdi, I. Zeljenka, …) a realizovaniu nahrávok pre slovenský rozhlas i zahraničné rozhlasové spoločnosti.

Počas svojej existencie koncertovalo vo významných hudobných sálach sveta: Schauspielhaus  – Berlín, Mozarteum – Salzburg, Gewandhaus – Lipsko, Teatro Real – Madrid, Cathédrale Saint-Louis des Invalides – Paríž, Merkin Hall – New York, Walter Hall – Toronto, Musikverein – Viedeň, Auditórium – Rím, Malá sála Šostakovičovej filharmónie – Petrohrad. Koncertovalo i v Barcelone, Bruseli, Budapešti, Kyjeve, Miláne, Mníchove, Moskve, Osake, Prahe, Tokiu, Varšave, Ženeve atď.

Moyzesovo kvarteto nahralo i hudbu k niekoľkým úspešným slovenským filmom. Od roku 2006  bolo Moyzesovo kvarteto komorným súborom mesta Modra. Od roku 2008 sa stalo komorným súborom mesta Skalica. 40 rokov bol primáriom Moyzesovho kvarteta Stanislav Mucha, od roku 2016 je ním Jozef Horváth. V roku 2022 vystriedal Františka Töröka na pozícii druhých huslí Július Horváth (člen skupiny 1. huslí Slovenskej filharmónie). Na poste violy a violončela pôsobia dlhoroční členovia: Alexander Lakatoš (člen Symfonického orchester Slovenského rozhlasu) a zakladajúci člen Moyzesovho kvarteta Ján Slávik (koncertný majster skupiny violončiel Slovenskej filharmónie).

V roku 2025 oslavuje Moyzesovo kvarteto svoje 50. jubileum. V posledných rokoch kvarteto nahralo 2CD s tromi sláčikovými kvartetami J. N. Hummela a CD s tromi sláčikovými kvartetami Vladislava Šarišského. V roku 2021 nahralo svoje nové CD s dielami slovenských autorov (A. Moyzes, I. Zeljenka, M. Varga, L. Burlas, E. Krák). Tento rok nahráva kvarteto tri majstrovské opusy Josepha Haydna pre vydavateľstvo Real Music House.